e1d1W. Bildiğiniz gibi bütün çokgenler üçgenlerden oluşmuştur. Bu nedenle geometride en önemli konu hangisi derseniz cevabımız üçgenler konusu olur. Üçgende açı, üçgende uzunluk ve üçgende alan geometrinin temelidir diyebiliriz. Bu yazıda üçgenin alanı nasıl bulunur öğrenmeye çalışacağız. Önce temel formülü göreceğiz. Ardından alternatif yöntemleri ve ipuçlarını da paylaşacağız. Üçgenin alanı formülü / 2 şeklindedir. Bu da herhangi bir kenar ile o kenara ait yüksekliğin çarpılması ve çıkan sonucun ikiye bölünmesi demektir. Görüldüğü gibi formül çok basittir. Ancak burada kaçırmamanız gereken ana bir nokta bulunuyor. Seçtiğiniz kenar ile o kenara ait yükseliği çarpmak zorundasınız. Yani çarptığınız iki şey birbirine dik olmak zorundadır. İlgili yazı Üçgenin çevresi Dik Üçgenin Alanı Nasıl Bulunur? Yukarıda üçgenin alanı nasıl bulunur değindik. Bu bilgi 6. sınıf müfredatından eğitim hayatınızın sonuna kadar hep işe yarayacaktır. Üçgenin alanı sorular bazen dik üçgenden gelir. Eğer sorulan bir dik üçgense işiniz çok daha basittir. Dik üçgende zaten iki kenar birbirine dik olduğuna göre dik kenarları çarpmak çok daha kolay olacaktır. İki dik kenarı çarpıp ikiye bölersek sonucu elde ederiz. Dik üçgende eğer bilinmeyen kenar uzunlukları varsa Pisagor bağıntısı ile eksik kenarlar bulunmalıdır. Eşkenar Üçgenin Alanı Nasıl Bulunur? Eşkenar üçgen, çok özel bir üçgen olduğu için alanını bulmak daha kolaydır. Bütün kenarlar eşit olduğu için bütün açılar da eşit ve 60 derecedir. Dolayısıyla nereden dikme çizerseniz çizin dikme uzunlukları da eşit olacaktır. Ayrıca eşkenar üçgende kenarlar ile yükseklikler arasındaki oran da her zaman sabittir. Eğer dikme kullanmak istemiyorsanız ve formülle soruyu çözmek istiyorum diyorsanız eşkenar üçgenin alanı Alan = a2.√3 / 4 formülüyle bulunmaktadır. Daha önce eşkenar üçgenin alanı yazısında bunu detaylı anlatmıştık. Burada yine hatırlayalım. Formül yine taban x yükseklik / 2 ifadesinden gelmektedir. Örnek Her bir kenar uzunluğu 6 birim olan bir eşkenar üçgenin alanı kaç birim kare olur? Çözüm Formülü uygulayacağız. a2.√3 / 4 ⇒ 62.√3 / 4 ⇒ 9√3 bulunur. İkizkenar Üçgenin Alanı Nasıl Bulunur? İkizkenar üçgen eşkenar üçgen kadar özel bir üçgen çeşidi değildir. Ancak ikizkenar üçgende de iki kenarın eşit olması bize çeşitli avantajlar kazandırmaktadır. Eğer herhangi bir kenarı ve o kenara ait yükseliği biliyorsak işimiz zaten kolaydır. Eğer bilmiyorsak bulmamız gerekir. İkizkenar üçgende eşit iki kenarın birleştiği köşeden aşağı doğru dikme çizerseniz bu dikme hem yükseklik, hem açıortay hem de kenarortay olur. Çeşitkenar Üçgenin Alanı Nasıl Bulunur? Üç kenar uzunluğu da farklı olan üçgene çeşitkenar üçgen diyoruz. Çeşitkenar üçgenin alanı bulunurken yine elimizde herhangi bir kenar ve o kenara ait yükseklik bilgisi varsa formülü uygularız. Eğer yoksa ve sadece üç kenar uzunluğunu biliyorsak öğrenciler arasında u’lu formül olarak bilinen alan formülünü uygulayabiliriz. Üçgenin çevresi 2u olarak alınırsa ve kenar uzunluklarına a, b, ve c dersek Alan = √uu-au-bu-c şeklinde bulunur. Örneğin kenar uzunlukları 3, 4 ve 5 cm olan çeşitkenar bir üçgenin alanını bulalım. Üçgenin çevresi 3 + 4 + 5 = 12 cm olur. 2u = 12 olduğuna göre çevrenin yarısı 12/2 = 6 bulunur. Şimdi formülü uygulayalım. Alan = √66-36-46-5 = √ = √36 = 6 cm2 bulunur. Sinüs Alan Formülü Bonus Bonus olarak sinüs alan formülünü de görelim. Eğer yüksekliği bilmiyorsak bu yöntemi uygulayabiliriz. Daha önce sinüs alan formülü yazısında bilgileri vermiştik zaten. Bir üçgende yükseklik bilinmiyorsa ve komşu iki kenar uzunluğu biliniyorsa şu formül uygulanır. Alan = / 2 yani iki kenar uzunluğu ve aradaki açının sinüsü çarpılır. Bulunan sonuç ikiye bölünür. Aslında bakarsanız bu formül daha genel bir formüldür. Dik kenarlar arasındaki açı 90 derece olduğundan ve sinüs90 = 1 olduğundan çarpımda yazılmaz. Ancak aslında bütün formüllerde sinüs vardır. Sinüs alan formülünün kullanılabilmesi için iki kenar arasındaki açının da bilinmesi gerekir. Sinüs alan formülü iyi öğrenildiğinde çokgen sorularında da işimize çok yarayacaktır. Üçgende alan konusu kpss geometri dersi içinde işlenmektedir. Kpss sorularında üçgende alan ile ilgili son 12 yılda toplam 8 tane soru çıkmıştır. Geometri soruları genel yetenek soruları içinde az bir yer kaplasa da, üçgende alan konusu yıllara göre çıkan soru sayısına göre önemlidir. Bu yüzden konuya gerekli özeni AlanÜçgende alan konusuyla ilgili özellikler aşağıda sıralanmıştır. Tüm geometri konularında olduğu gibi bu konuyla ilgili de bazı formüller ön plana çıkmatadır. Baktığımız şekilleri hatırlamamız sınav anında kolay değildir. Önümüze çıkan kpss sorularında aklımızda tuttuğumuz bu resimleri ve formülleri genelde soruya uygulamak çok zordur. Bunun için tabiki bolca soru, test ve kpss deneme sınavı çözmek konuyu daha rahat sindirmenize yardımcı üçgenin alanı, bir kenarın uzunluğu ile bu kenara ait yüksekliğin uzunluğunun çarpımının yarısına alan konusunda, bir üçgenin üç kenarının uzunluğu verilirse ve dersek; ABC üçgeninin alanını bu şekilde üçgenin iç teğet çemberinin yarıçap uzunluğu r ve çevresinin uzunluğu 2u biliniyorsa ABC üçgeninin alanında şöyle bir ilişki doğar;Ayrıca; 2x+2y+2z=2u formülünden; sonucu ortaya bunlarla beraber sonuçları da ortaya çıkar. Bir üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı r uzunluğu verilirse aşağıdaki formül ortaya dik üçgenin alanı dik kenarların çarpımının yarısına sonucu ortaya dik üçgenin iç teğet çemberinin hipotenüs üzerinde ayırdığı parça uzunlukları m ve n ise Alan şu şekilde bulunurEşkenar Üçgenin AlanıABC üçgeni eşkenar üçgen olmak üzere,Bir üçgenin bir kenarına paralel olarak çizilen doğrular diğer kenarları farklı noktalarda kesiyor ve doğrular üçgenin kenarları üzerinde eşit parçalar ayırıyorsa paralel doğrular arasında bölgelerin alanları tek sayılar ile orantılı temel sebebi aynı tabanları farklı üçgenlerin alanlarının oranı tabanlarının oranına alan konusu içinde bir de kenarortayların oluşturduğu alanlar oluşturduğu alanKpss genel yetenek geometri dersine ait üçgende alan konusu tamamlanmıştır. Bir sonraki kpss geometri konusu Üçgende Benzerlik olacaktır. Üç Kenar Uzunluğu Bilinen Üçgenin Çevresini Bulma. Bir üçgenin çevresini bulma formülünü hatırla. Kenarları a, b ve c olan bir üçgenin çevresi, Ç, şu şekilde tanımlanır Ç = a + b + Bir üçgenin çevresi nasıl bulunur?2 Üçgende 3 kenar nasıl bulunur?3 Bir üçgenin alanı kaç cm’dir?4 Üçgenin verilmeyen kenarı nasıl bulunur?5 Bir çemberin çevresi nasıl hesaplanır?6 Bir üçgenin ağırlık merkezi nasıl bulunur?7 Üçgenin kenarları toplamı kaç?8 Özel üçgenler nelerdir?Bir üçgenin çevresi nasıl bulunur?Eğer kenar uzunluklarından bir tanesi ya da daha fazlası verilmemiş ise ilk işlem olarak kenar uzunlukları bulunur. Daha sonra bulunan kenar uzunlukları toplama işlemine tabii tutulmaktadır. Kenar uzunlukları x, y ve z olursa çevre formülü şu şekilde olmaktadır x+y+z. Bu formül çevre formülü olarak işlev 3 kenar nasıl bulunur?İki kenar uzunluğu verilen bir üçgenin üçüncü kenar uzunluğu, diğer iki kenar uzunluğunun toplamı ile farkı üçgenin alanı kaç cm’dir?Üçgenin alanı, taban uzunluğuyla yüksekliğin çarpımının yarısına verilmeyen kenarı nasıl bulunur?Kosinüs teoremi ile de üçgenin bilinmeyen kenarının bulunması mümkündür. Bir üçgenin kenar uzunlukları a, b, c olarak ifade edildiği zaman kosinüs teoremi c2=a2 + b2 – 2abcosC şeklinde çemberin çevresi nasıl hesaplanır?Yarıçapın İngilizcesi radius olduğu için formülde r harfi olarak gösterilmektedir. Yarıçapı belli olan çemberin çevresi ise 2πr olmaktadır. Bu formülün anlamı ise çemberin yarıçapının iki ile çarpılmasından sonra pi sayısı ile çarpılmasıdır. Bu formül ile çemberin çevresini kolaylıkla üçgenin ağırlık merkezi nasıl bulunur?Üçgenin tam orta noktası ağırlık merkezidir. Çünkü kenar ortay köşelere iki birim kenara da bir birim olacak şekilde üçgeni bölmektedir. Ağırlık Merkezi Nasıl Bulunur? İki kenara ait kenar ortay doğru parçasının kesim noktası ağırlık kenarları toplamı kaç?Bir üçgenin çevresini bulma formülünü hatırla. Kenarları a, b ve c olan bir üçgenin çevresi, Ç, şu şekilde tanımlanır Ç = a + b + c. Daha basit bir ifadeyle bu formül, bir üçgenin çevresini bulmak için, üçgenin her üç kenarının uzunluklarını yalnızca toplaman anlamına üçgenler nelerdir?Geometrinin en temel konusu özel üçgenler ise üç gruba ayrılır. Bunlar sırasıyla dik üçgen, ikizkenar üçgen ve eşkenar üçgendir. Üçgende alan konusunda; yüksekli, taban, dik üçgende alan, orta dikme gibi kavramları göreceğiz. Üçgende alan bulabilmek için bazı özellikler ve formüller bulunmaktadır, bunları detaylı bir şekilde aşağıda ders notu ve konu anlatımında üçgende alan konusuyla ilgili bilinmesi gereken tüm bilgileri mevcuttur. İyi bir çalışmanın ardından soru çözümüne geçerek hızlı ve basit bir şekilde soruları çözebileceğinize olan inancınız tam Genel Alan Bağıntısı Sponsorlu Bağlantılar Bir üçgenin alanı, bir kenarı ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının kenarı kullanırsak kullanalım üçgenin alanı ABC üçgeninde yükseklik her zaman üçgenin içinde Dik Üçgende AlanDik üçgenin alanı dik kenarlarının çarpımının yarısına Bir açısı ve bu açının kenarları bilinen üçgenin alanı;ABC üçgenindemABC = a AB = cBC = aa. Birbirini 180° ye tamamlayan açıların sinüsleri eşit olduğundan;eşitliği BC = a AB = c uzunlukları sabit olan ABC üçgeninin alanının maksimum olabilmesi için a = 90° Hipotenüs uzunluğu sabit olan ABC dik üçgeninin alanının en büyük değerini alabilmesi için AB = AC üçgeni ikizkenar dik üçgen Üç kenarının uzunluğu verilen üçgenin alanı;ABC üçgeninin çevresi ÇevreABC = a + b + c Çevrenin yarısına u dersekBu üç alanı toplayarak ABC üçgeninin alanını ABC üçgeninde iç teğet çemberin yarıçapı r ve yükseklikler ABC dik üçgeninde AABC = BD.DC ve çevrel çemberinin yarıçapı verilen ABC üçgeninin çevrel çemberinin merkezi O ve yarıçapı R olsun. Sponsorlu Bağlantılar Orta DikmeÜçgenin kenarının orta noktasından çizilen dik doğrulara orta dikme denir.[EA, a kenarının [FO, b kenarının[DO, c kenarınınorta noktası çevrel çemberin Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanları arasındaki bağıntı;Yükseklikleri eşit üçgenlerin alanlarının oranı tabanlarının oranına eşittir. Merhaba arkadaşlar size bu yazımızda Matematik Konuları hakkında bilgi vereceğiz. Yazımızı okuyarak bilgi sahibi olabilirsiniz. Üçgenin Alanı konusu ile ilgili bütün soruların cevabı sizleri bekliyor… Üçgenin Alanı Genel Alan Bağıntısı Dik Üçgende Alan Geniş Açılı Üçgende Alan Bir açısı ve bu açının kenarları bilinen üçgenin alanı Üç kenarının uzunluğu verilen üçgenin alanı Çevresi ve iç teğet çemberinin yarıçapı verilen üçgenin alanı Genel Alan Bağıntısı Bir üçgenin alanı, bir kenarı ile o kenara ait yüksekliğin çarpımının yarısıdır. Hangi kenarı kullanırsak kullanalım üçgenin alanı sabittir. Bir ABC üçgeninde yükseklik her zaman üçgenin içinde olmayabilir. Dik Üçgende Alan Dik üçgensel bölgenin alanı, dik kenar uzunluklarının çarpımının yarısının alınması ile bulunur. Eğer hipotenüse ait yükseklik biliniyorsa taban ile yükseklik çarpımının yarısı da alınabilir. Geniş Açılı Üçgende Alan Geniş açılı üçgenlerde [AB] ve[BC] kenarlarına ait yükseklikler üçgenin dış bölgesindedir. Bir açısı ve bu açının kenarları bilinen üçgenin alanı ABC üçgeninde mABC = a AB = cBC = a Birbirini 180° ye tamamlayan açıların sinüsleri eşit olduğundan; BC = a AB = c uzunlukları sabit olan ABC üçgeninin alanının maksimum olabilmesi için a = 90° olmalıdır. Hipotenüs uzunluğu sabit olan ABC dik üçgeninin alanının en büyük değerini alabilmesi için AB = AC üçgeni ikizkenar dik üçgen olmalıdır. Üç kenarının uzunluğu verilen üçgenin alanı Üç kenarının uzunluğu verilen üçgenin alanı;ABC üçgeninin çevresi ÇevreABC = a + b + c Çevrenin yarısına u dersek; Çevresi ve iç teğet çemberinin yarıçapı verilen üçgenin alanı Bu üç alanı toplayarak ABC üçgeninin alanını bulabiliriz. AABC= Bir ABC üçgeninde iç teğet çemberin yarıçapı r ve yükseklikler; ABC dik üçgeninde AABC = BD.DC 9. Sınıf Matematik Konuları için Tıklayınız 9. Sınıfta Yer Alan Diğer Ders ve Konuları için Tıklayınız

üç kenarı bilinen üçgenin alanı